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Prova AFRFB 2009 - ESAF

Questão 1 - (AFRFB - 2009 / ESAF) Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que:

a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.

Resolução Questão 01

Questão 2 - (AFRFB - 2009 / ESAF) Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma rua em três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e de cores também diferentes. Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó; a calopsita é amarela; Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja – ; a cobra vive na casa do meio. Assim, os animais de estimação de Zezé, Zozó e Zuzu são, respectivamente:

a) cão, cobra, calopsita.
b) cão, calopsita, cobra.
c) calopsita, cão, cobra.
d) calopsita, cobra, cão.
e) cobra, cão, calopsita.

Resolução Questão 02

Questão 3 - (AFRFB - 2009 / ESAF) Se α = , então β = . Se α = e3 , então β ou δ são iguais a . Se δ = e3 , então β = e3. Se δ = , então α = . Considerando que as afirmações são verdadeiras, segue-se, portanto, que:

a) α = β = δ = e3
b) α = β = e3, mas δ =
c) α = , mas β = δ = e3
d) α = β = δ =
e) α = δ = , mas β = e3

Resolução Questão 03

Questão 4 - (AFRFB - 2009 / ESAF) Considere as inequações dadas por:

f(x) = x2 - 2x + 1 ≤ 0 e g(x) = -2x2 + 3x + 2 ≥ 0

Sabendo-se que A é o conjunto solução de f(x) e B o conjunto solução de g(x) , então o conjunto Y = A ∩ B é igual a:

a) Y = {x ∈ R | -1/2 < x ≤ 2}
b) Y = {x ∈ R | -1/2 ≤ x ≤ 2}
c) Y = {x ∈ R | x = 1}
d) Y = {x ∈ R | x ≥ 0}
e) Y = {x ∈ R | x ≤ 0}

Resolução Questão 04

Questão 5 - (AFRFB - 2009 / ESAF) Em uma repartição, 3/5 do total dos funcionários são concursados, 1/3 do total dos funcionários são mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 do total dos funcionários dessa repartição. Assim, qual entre as opções abaixo, é o valor mais próximo da porcentagem do total dos funcionários dessa repartição que são homens não concursados?

a) 21%
b) 19%
c) 42%
d) 56%
e) 32%

Resolução Questão 05

Questão 6 - (AFRFB - 2009 / ESAF) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará examente cinco segundos após o lançamento?

a) 0,333 km
b) 0,625 km
c) 0,5 km
d) 1,3 km
e) 1 km

Resolução Questão 06

Questão 7 - (AFRFB - 2009 / ESAF) Com relação ao sistema,

onde 3z + 2 ≠ 0 e 2x + y ≠ 0 , pode-se, com certeza, afirmar que:

a) é impossível.
b) é indeterminado.
c) possui determinante igual a 4.
d) possui apenas a solução trivial.
e) é homogêneo.

Resolução Questão 07

Questão 8 - (AFRFB - 2009 / ESAF) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera?

a) 4
b) 5
c) 3
d) 2
e) 1

Resolução Questão 08

Questão 9 - (AFRFB - 2009 / ESAF) Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x – a) e (x – b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a:

a) 13x/4 + 7/4
b) 7x/4 - 13/4
c) 7x/4 + 13/4
d) -13x/4 - 13/4
e) -13x/4 - 7/4

Resolução Questão 09

Questão 10 - (AFRFB - 2009 / ESAF) Sabe-se que os pontos A,B,C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:

a) 16
b) 28
c) 15
d) 24
e) 32

Resolução Questão 10

Questão 11 - (AFRFB - 2009 / ESAF) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

a) 72
b) 36
c) 216
d) 720
e) 360

Resolução Questão 11

Questão 12 - (AFRFB - 2009 / ESAF) Considere um retângulo formado por pequenos quadrados iguais, conforme a figura abaixo. Ao todo, quantos quadrados de quaisquer tamanhos podem ser contados nessa figura?

a) 128
b) 100
c) 64
d) 32
e) 18

Resolução Questão 12

Resolução

Questão 1 - Vamos lá:

p: Chove
q: Neva
r: O chão fica molhado

O que a questão quer é uma expressão equivalente a:

(p v q) → r

Sabemos que p → q é equivalente a ~q → ~p. Assim, temos:

(p v q) → r = ~r → ~(p v q)
~r → ~p ^ ~q

Assim, temos o seguinte:

~p: Não chove
~q: Não neva
~r: O chão não fica molhado (o chão fica seco)

Assim, temos como resposta a letra "e": Se o chão está seco, então não choveu e não nevou

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Questão 2 - Vamos preenchendo a tebelinha:

Sabemos que: "cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó" logo:

Sabemos também que: "a calopsita é amarela e Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja." logo:

Agora, sabemos que "a cobra vive na casa do meio" e que "o cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó" Assim:

Assim, podemos terminar de preencher a tabela:

Portanto, resposta letra "a".

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Questão 3 - Vamos lá:

p: α =
q: β =
r: δ =

Reescrevendo o enunciado, temos:

(p → q)^(~p → (q v r))^(~r → ~q)^(r → p)

Agora, vamos supor que p seja verdadeiro:

(V → q)^(F → (q v r))^(~r → ~q)^(r → V)

Aqui, concluímos que q deve ser verdadeiro para que (V → q) seja verdadeiro. Assim:

(V → V)^(F → (V v r))^(~r → F)^(r → V)

Agora, concluímos que ~r deve ser falso para que (~r → F) seja verdadeiro. Assim, com r verdadeiro, temos:

(V → V)^(F → (V v V))^(F → F)^(V → V)

Vemos que o resultado foi verdadeiro, o que torna nossa suposíção válida.

Assim, concluímos que α, β e δ são iguais a . Portanto, gabarito letra "d".

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Questão 4 - Nessa questão, vamos fazer os gáficos para facilitar:

f(x) = x2 - 2x + 1 ≤ 0

g(x) = -2x2 + 3x + 2 ≥ 0

Como o f(x) deve ser menor ou igual a zero, só temos o ponto x = 1 como solução da inequação. Já o g(x), este deve ser maior ou igual a zero, o que nos leva ao intervalo x = [-1/2 ; 2]. Assim, a interseção destes dois conjuntos é apenas o ponto x = 1.

Portanto, resposta letra "c".

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Questão 5 - Vamos fazer o desenho dos conjuntos para facilitar:

Assim, temos que:

3/5 do total dos funcionários são concursados

B + C = 3/5

1/3 do total dos funcionários são mulheres

C + D = 1/3

As mulheres concursadas correspondem a 1/4 do total dos funcionários dessa repartição

C = 1/4 =

Além disso, sabemos que A + B + C + D = 100% dos funcionários.

Agora, queremos saber o valor de "A". Assim, temos:

B + C = 3/5 (sabendo que C = 1/4)
B + 1/4 = 3/5
B = 3/5 - 1/4 B = 7/20

C + D = 1/3 (sabendo que C = 1/4)
1/4 + D = 1/3
D = 1/3 - 1/4
D = 1/12

Por fim, temos:

A + B + C + D = 1
A + 7/20 + 1/4 + 1/12 = 1
A = 1 - 7/20 - 1/4 - 1/12
A = 19/60 = 31,6667 %

Assim, resposta letra "e".

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Questão 6 - Nessa questão, temos:

Onde h é o que queremos calcular e d é a distância percorrida pelo projétil.

Assim, para calcular o d basta fazer a seguinte regra de três:

900 km -------- 3600 segundos (1 hora possui 3600 segundos)
x km ---------- 5 segundos

x = 900.5/3600 = 1,25 km

Agora, sabendo que o seno de 30° é 1/2, temos:

sen(30°) = 1/2 = h/1,25
h = 1,25/2 = 0,625 km

Resposta letra "b".

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Questão 7 - Nessa questão, vamos analisar cada alternativa:

Rearrumando o sistema, temos:

Podemos, desde já, eliminar as alternativas "d" e "e", pois este sistema não possui a solução trivial (0, 0, 0) e não é homogêneo.

Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes:

Mc =

Det(Mc) = 1 - 6 + 2 + 2 + 3 + 2 = 4

Aqui, podemos concluir que este sistema é possível e determinado. Assim, eliminamos as alternativas "a" e "b".

Só nos restou a alternativa "c" que é a resposta da questão. O problema é que a questão não especifica qual o determinante que possui valor igual a 4. Vimos que o determinante da matriz dos coeficientes possui determinante igual a 4. Portanto, a questão deveia especificar que o determinante do item "c" é o determinante da matriz dos coeficientes. Portanto, acreditamos que nessa questão caberia recurso.

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Questão 8 - Nessa questão, temos:

E: peso da esfera
C: Peso do cubo
N: Peso do Cone
P: Peso da pirâmide

Assim, vamos montar as equações:

N = E + C (equação 1)
E = C + P , que é o mesmo que: P = E - C (equação 2)
2.N = 3.P (equação 3)

Agora, substituimos o N da equação 1 e o P da equação 2 na equação 3:

2.(E + C) = 3.(E - C)
2E + 2C = 3E - 3C
5C = E

Portanto, resposta letra "b"

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Questão 9 - Nessa questão, devemos saber o teorema do resto que diz o seguinte:

"O resto da divisão de P(x) por (x-a) é igual a P(a)."

Assim, temos:

Como queremos dividir o polinômio por outro de grau 2 (x-1).(x+3), então o resto terá grau 1 (ou zero). Assim, vamos chamar o resto de ax + b.

voltando para o teorema, temos::

P(1) = 5
P(-3) = -2

Assim, podemos montar o seguinte sisteminha:

a.1 + b = 5 (equação 1)
a.(-3) + b = -2 (equação 2)

Fazendo a equação 1 menos a equação 2, temos:

4a = 7
a = 7/4

Substituindo o valor de a na equação 1, temos:

7/4 + b = 5
b = 5 - 7/4
b = 13/4

Portanto, o resto é (7/4).x + 13/4

Gabarito letra "c".

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Questão 10 - Nessa questão, caso naõ tivéssemos mais de dois pontos colineares, a solução seria simplesmente a combinação deste sete pontos dois a dois (C7,2 = 21). Ocorre que quatro dos sete pontos estão numa mesma reta. Co isso, devemos abater destas 21 possíveis retas, as retas coincidentes (que passam por esses quatro pontos). Assim, a solução da questão é a seguinte:

Total de retas = C7,2 - C4,2 + 1
Total de retas = 7!/(7-2)!.2! - 4!/(4-2)!.2! + 1
Total de retas = 7.6.5!/5!.2! - 4.3.2!/2!.2! + 1
Total de retas = 7.6/2 - 4.3/2 + 1
Total de retas = 21 - 6 + 1
Total de retas = 16

Gabarito letra "a".

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Questão 11 - O maior problema desta questão é saber exatamente o que a questão quer. Como realmente deve ser a maneira em que os homens e as mulheres irão sentar-se à mesa. No nosso ponto de vista, o que a questão pede é que exista um (e não cada um dos homens) entre duas mulheres e uma (e não cada uma das mulheres) entre dois homens. Assim, as pessoas deve sentar-se à mesa da seguinte maneira:

Dessa forma, vamos calcular as possibilidades:

Para facilitar, vamos partir da hipótese em que queremos apenas a permutação circular:

N = (P-1)! = (6-1)! = 5! = 120

Agora, vamos eliminar as arrumações da mesa que não interessam, que são os três homens junto (com as rês mulheres juntas) e cada homem entre duas mulheres (com cada mulher entre dois homens). Assim temos:

N(três homens juntos) = (3!).(3!) = 6.6 = 36

N(cada homem entre duas mulheres) = (3!).(2!) = 6.2 = 12

Assim, o total de possibilidades é dado por: 120 - 36 - 12 = 72. Assim o gabarito correto é letra "a". Acreditamos que nessa questão haverá alteração de gabarito.

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Questão 12 - Nessa questão, temos:

Quadrados pequenos: 18

Quadrados médios (formados por 4 quadrados pequenos): 10

Quadrados grandes (formados por 9 quadrados pequenos): 4

Total: 18 + 10 + 4 = 32. Resposta letra "d".

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