Questão 1 - (CGU - 2012 / ESAF) Seja D um conjunto de pontos da reta. Sejam K, F e L categorias possíveis para classificar D. Uma expressão que equivale logicamente à afirmação "D é K se e somente se D é F e D é L" é:
a) Se D é F ou D é L, então D é K e, se D não é K, então D não é F e D não é L.Questão 2 - (CGU - 2012 / ESAF) Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas na Região Nordeste, 48 são empresas familiares, 44 são empresas exportadoras e 19 não se enquadram em nenhuma das classificações acima. Das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras. Das empresas familiares, 21 são exportadoras. O número de empresas do Nordeste que são ao mesmo tempo familiares e exportadoras ?
a) 21.Questão 3 - (CGU - 2012 / ESAF) Calcule o determinante da matriz:
Questão 4 - (CGU - 2012 / ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas partes com comprimentos x e 1 - x respectivamente. Calcule o valor mais próximo de x de maneira que
x = (1 - x)/x, usando √ 5 ≡ 2,24.
a) 0,62Questão 5 - (CGU - 2012 / ESAF) Considere um órgão público com 30 técnicos, sendo 20 homens e 10 mulheres. Ao se escolher aleatoriamente, sem reposição, quatro técnicos para se formar uma comissão, sendo Cn,k o número de combinações de n elementos tomados k a k, qual o valor mais próximo da probabilidade da comissão ser formada exatamente por duas mulheres e dois homens?
a) C4,2 (1/3)2(2/3)2.Questão 1 - Nessa questão, vamos começar batizando as proposições:
A = D é K
B = D é F
C = D é L
Agora, vamos passar a proposição do enunciado para a linguagem simbólica:
"D é K se e somente se D é F e D é L" = A ↔ (B ∧ C)
Devemos saber que p ↔ q é equivalente a (p → q) ∧ (q → p). Assim:
A ↔ (B ∧ C)
(A → (B ∧ C)) ∧ ((B ∧ C) → A)
Devemos saber também que p → q é equivalente a ~q → ~p. Assim:
(A → (B ∧ C)) ∧ ((B ∧ C) → A)
(A → (B ∧ C)) ∧ (~A → ~(B ∧ C))
Por fim, devemos saber que ~(p ∧ q) é igual a ~p ∨ ~q. Assim
(A → (B ∧ C)) ∧ (~A → ~(B ∧ C))
(A → (B ∧ C)) ∧ (~A → (~B ∨ ~C))
Voltando para a liguagem corrente, temos:
(A → (B ∧ C)) ∧ (~A → (~B ∨ ~C))
(D é K → (D é F ∧ D é L)) ∧ (D não é K → (D não é F ∨ D não é L))
Se D é K então D é F e D é L, e se D não é K então D não é F ou D não é L
Portanto, resposta letra "D".
Questão 2 - Vamos começar representando os conjuntos pelo seguinte diagrama:
Agora, batizando as regiões do diagrama, vamos calcular o número de empresas do Nordeste que são ao mesmo tempo familiares e exportadoras:
19 não se enquadram em nenhuma das classificações acima
H = 19
57 estão situadas na Região Nordeste
A + E + G + D = 57
A = 57 - E - G - D (equação 1)
48 são empresas familiares
B + F + G + D = 48
B = 48 - F - G - D (equação 2)
44 são empresas exportadoras
C + E + G + F = 44
C = 44 - E - G - F (equação 3)
Em um grupo de 120 empresas, 19 não se enquadram em nenhuma das classificações
A + B + C + D + E + F + G = 120 - 19
A + B + C + D + E + F + G = 101 (equação 4)
Agora, vamos substituir os valores de A, B e C das equações 1, 2 e 3 na equação 4:
A + B + C + D + E + F + G = 101
57 - E - G - D + 48 - F - G - D + 44 - E - G - F + D + E + F + G = 101
57 + 48 - F - G - D + 44 - E - G = 101
149 - 101 = F + D + E + 2.G
48 = F + D + E + 2.G (equação 5)
Além disso, temos:
Das empresas do Nordeste, 19 são familiares
D + G = 19
D = 19 - G (equação 6)
Das empresas do Nordeste, 20 são exportadoras
E + G = 20
E = 20 - G (equação 7)
Das empresas familiares, 21 são exportadoras
F + G = 21
F = 21 - G (equação 8)
Por fim, substituimos os valores de D, E e F das equações 6, 7 e 8 na equação 5:
48 = F + D + E + 2.G
48 = 21 - G + 19 - G + 20 - G + 2.G
48 = 60 - G
G = 60 - 48
G = 12
Portanto, resposta letra "E".
Questão 3 - Nesta questão, devemos calcular o determinante de uma matriz 2 x 2:
Det = cosx.cosx - senx.senx
Devemos lembrar que cos (a + b) é dado por:
cos (a + b) = cosa.cosb - sena.senb
Assim, substituindo a e b por x, temos:
cos (a + b) = cosa.cosb - sena.senb
cos (x + x) = cosx.cosx - senx.senx
cos (2.x) = cosx.cosx - senx.senx
Portanto, resposta letra "C".
Questão 4 - Aqui, devemos resolver a equação x = (1 - x)/x:
x = (1 - x)/x
x2 = 1 - x
x2 + x - 1 = 0
resolvendo a equação do 2° grau, temos:
x = [-1 ± √((1)2 - 4.(1).(-1))]/(2.1)
x = [-1 ± √(1 + 4)]/2
x = [-1 ± √5]/2
x = [-1 ± 2,24]/2
Assim, temos:
x = (-1 + 2,24)/2 = 1,24/2 = 0,62
ou,
x = (-1 - 2,24)/2 = 3,24/2 = -1,62 (não pode, pois trata-se de uma medida de segmento de reta)
Assim, concluímos que x = 0,62
Portanto a resposta é letra "A".
Questão 5 - Nessa questão, devemos lembrar que a probabilidade é dada pela razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis:
Vamos começar calculando os casos possíveis:
Casos Possíveis = C30,4
Casos Possíveis = 30!/4!.(30 - 4)!
Casos Possíveis = 30.29.28.27.26!/4!.(26)!
Casos Possíveis = 30.29.28.27/4!
Agora, calculamos os casos favoráveis, que são os casos em que temos 2 homens e 2 mulheres:
Casos Favoráveis = C20,2 x C10,2
Casos Favoráveis = 20!/2!.(20 - 2)! x 10!/2!.(10 - 2)!
Casos Favoráveis = 20.19.18!/2!.(18)! x 10.9.8!/2!.(8)!
Casos Favoráveis = 20.19/2! x 10.9/2!
Casos Favoráveis = 20.19.10.9/2!.2!
Por fim, calculamos a probabilidade:
Probabilidade = Casos Favoráveis / Casos Possíveis
Probabilidade = 20.19.10.9/2!.2! / 30.29.28.27/4!
Probabilidade = 20.19.10.9.(4!)/(2!.2!).30.29.28.27
Probabilidade = C4,2.20.19.10.9/30.29.28.27
Portanto, resposta letra "B".