Questão 1 - (APO e EPPGG - 2005 / ESAF) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez; as moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a:
a) 10Questão 2 - (APO e EPPGG - 2005 / ESAF) Mauro, José e Lauro são três irmãos. Cada um deles nasceu em um estado diferente: um é mineiro, outro é carioca, e outro é paulista (não necessariamente nessa ordem). Os três têm, também, profissões diferentes: um é engenheiro, outro é veterinário, e outro é psicólogo (não necessariamente nessa ordem). Sabendo que José é mineiro, que o engenheiro é paulista, e que Lauro é veterinário, conclui-se corretamente que:
a) Lauro é paulista e José é psicólogo.Questão 3 - (APO e EPPGG - 2005 / ESAF) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:
a) 80Questão 4 - (APO e EPPGG - 2005 / ESAF) Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. Portanto:
a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.Questão 5 - (APO e EPPGG - 2005 / ESAF) O sultão prendeu Aladim em uma sala. Na sala há três portas. Delas, uma e apenas uma conduz à liberdade; as duas outras escondem terríveis dragões. Uma porta é vermelha, outra é azul e a outra branca. Em cada porta há uma inscrição. Na porta vermelha está escrito: “esta porta conduz à liberdade”. Na porta azul está escrito: “esta porta não conduz à liberdade”. Finalmente, na porta branca está escrito: “a porta azul não conduz à liberdade”. Ora, a princesa – que sempre diz a verdade e que sabe o que há detrás de cada porta – disse a Aladim que pelo menos uma das inscrições é verdadeira, mas não disse nem quantas, nem quais. E disse mais a princesa: que pelo menos uma das inscrições é falsa, mas não disse nem quantas nem quais. Com tais informações, Aladim concluiu corretamente que:
a) a inscrição na porta branca é verdadeira e a porta vermelha conduz à liberdade.Questão 6 - (APO e EPPGG - 2005 / ESAF) Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda normal, com “cara” em uma face e “coroa” na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem “cara” em ambas as faces. A outra tem “coroa” em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco, ao acaso, e é colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se que a face voltada para cima é “cara”. Considerando todas estas informações, a probabilidade de que a face voltada para baixo seja “coroa” é igual a:
a) 1/2Questão 7 - (APO e EPPGG - 2005 / ESAF) Você está à frente de três urnas, cada uma delas contendo duas bolas. Você não pode ver o interior das urnas, mas sabe que em uma delas há duas bolas azuis. Sabe, ainda, que em uma outra urna há duas bolas vermelhas. E sabe, finalmente, que na outra urna há uma bola azul e uma vermelha. Cada urna possui uma etiqueta indicando seu conteúdo, “AA”, “VV”, “AV” (sendo “A” para bola azul, e “V” para bola vermelha). Ocorre que – e isto você também sabe – alguém trocou as etiquetas de tal forma que todas as urnas estão, agora, etiquetadas erradamente. Você pode retirar uma bola de cada vez, da urna que bem entender, olhar a sua cor, e recolocá-la novamente na urna. E você pode fazer isto quantas vezes quiser. O seu desafio é determinar, por meio desse procedimento, o conteúdo exato de cada urna, fazendo o menor número de retiradas logicamente possível. O número mínimo de retira-das necessárias para você determinar logicamente o conteúdo exato de cada uma das três urnas é:
a) 1Questão 8 - (APO e EPPGG - 2005 / ESAF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perímetro será igual a:
a) 40 cmQuestão 9 - (APO e EPPGG - 2005 / ESAF) O raio do círculo A é 30% menor do que o raio do círculo B. Desse modo, em termos percentuais, a área do círculo A é menor do que a área do círculo B em:
a) 51%Questão 10 - (APO e EPPGG - 2005 / ESAF) O menor complementar de um elemento genérico xij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = (i+j)2 e que bij = i2, então o menor complementar do elemento y23 é igual a:
a) 0Questão 1 - Nessa questão, temos que:
Número de Homens = 15Total de cumprimento dos Homens
C(15,2) = 15!/(15-2)!.2! = 15.14.13!/13!.2 = 15.7 = 105Total de cumprimento das mulheres
C(M,2) = M!/(M-2)!.2! = M(M-1)(M-2)!/(M-2)!.2 = M(M-1)/2Fazendo a combinação das mulheres duas a duas igual a 45 (que é 150 menos os cumprimentos dos homens), temos:
M(M-1)/2 = 45Resolvendo esta equação, temos M = 10 ou M = -9(descartamos por ser negativo). Portanto, o número de moças é igual a 10. Resposta letra "a".
Questão 2 - Essa questão foi anulada por apresentar mais de uma opção correta. Vamos resolvê-la e verificar isso:
Pelo enunciado, sabemos que:
José é mineiroAssim, podemos concluir que Lauro é carioca, pois ele não pode ser mineiro (já que José é o mineiro) e não pode ser paulista (já que o paulista é engenheiro, e Lauro é veterinário).
Lauro -- Carioca -- VeterinárioPodemos, também, concluir que Mauro é o paulista, já que Lauro é carioca e José é mineiro.
Mauro -- Paulista -- EngenheiroPor fim, só sobrou José, que é o Psicólogo, pois Mauro é engenheiro e Lauro é veterinário.
José -- Mineiro -- PsicólogoAssim, temos como respostas possíveis as letras "d" e "e". Questão anulada.
Questão 3 - Nessa questão, temos o seguinte:
Vamos dividir em duas situações (que possuem o mesmo número de possibilidades):
Situação 1: Pedro sentando na frente de PauloVamos fazer nosso cálculo para a situação 1 (que será o mesmo valor para a situação 2):
Se Pedro sentar na primeira cadeira, Paulo poderá sentar a partir da terceira até o final da fila (8 opções de cadeiras). Para cada lugar que Pedro passar para trás, as opções de Paulo diminuem uma unidade. Isso irá ocorrer até que Pedro sente na oitava cadeira e Paulo sente na décima cadeira. Assim temos:
Pedro na cadeira 1: Paulo tem 8 opçõesAssim, o número de possibilidades da situação 1 será:
8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36Sabendo que o número de possibilidades da situação 2 é igual ao número de possibilidades da situação 1, então o total de possibilidades é 36 + 36 = 72 possibilidades. Resposta letra "b".
Questão 4 - Vamos esquematizar o enunciado:
p: Carlos ir ao Canadá.(q → ~p)^(~r → p)^(~p → ~q)^(r → q)
Vamos testar "p" falso:
(q → V)^(~r → F)^(V → ~q)^(r → q)Assim, "~r" deve ser falso para que (~r → F) seja verdadeiro e "~q" deve ser verdadeiro para que (V → ~q) seja verdadeiro. Substituindo (r verdadeiro e q falso):
(F → V)^(F → F)^(V → V)^(V → F)Expressão incorreta pois (V → F) possui valor lógico falso (r → q).
Vamos testar, agora, "p" verdadeiro:
(q → F)^(~r → V)^(F → ~q)^(r → q)Assim, "q" deve ser falso para que (q → F) seja verdadeiro:
(F → F)^(~r → V)^(F → V)^(r → F)Assim, "r" deve ser falso para que (r → F) seja verdadeiro:
(F → F)^(V → V)^(F → V)^(F → F)Expressão ok (p verdadeiro; q falso e r falso). Com isso, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha e Helena não vai à Holanda. Resposta letra "c".
Questão 5 - Nessa questão, sabeos que em uma porta a frase é verdadeira, em uma porta a frase é falsa e em uma porta a frase pode ser verdadeira ou falsa. Vamos simular as situações:
Frase da porta vermelha: "esta porta conduz à liberdade"Situação 1 - A porta vermelha conduz à liberdade:
Frase da porta vermelha: VerdadeiraOpção incorreta.
Situação 2 - A porta azul conduz à liberdade:
Frase da porta vermelha: FalsaOpção incorreta.
Situação 3 - A porta branca conduz à liberdade:
Frase da porta vermelha: FalsaOpção correta. Portanto, resposta letra "e".
Questão 6 - Nessa questão temos que:
Número de moedas = 3Probabilidade de que a face voltada para baixo seja “coroa”, dado que a face de cima é "cara" é igual a 1/3. Resposta letra "b".
Questão 7 - Nessa questão, vamos direto à solução do problema:
Como foi informado que todas as urnas estão com etiqueta errada, o melhor caminho é retirar a bola da urna com a etiqueta "AV", pois nela já se sabe que possui bolas de uma mesma cor. Assim, ao retirar uma bola, ela poderá ser azul ou vermelha. Se for vermelha, podemos concluir que na urna com etiqueta "VV" haverá duas bolas azuis e na urna com etiqueta "AA" haverá uma bola azul e uma vermelha. Já se for azul, podemos concluir que na urna com etiqueta "AA" haverá duas bolas vermelhas e na urna com etiqueta "VV" haverá uma bola azul e uma vermelha.
Retira uma bola da urna "AV"
Se a bola é vermelha
AV = 2 bolas vermelhas(Se não fosse assim, a urna AA estaria com a etiqueta correta)
Se a bola é azul
AV = 2 bolas azuis(Se não fosse assim, a urna VV estaria com a etiqueta correta)
Portanto, basta retirar uma bola. Resposta letra "a".
Questão 8 - Aqui, vamos fazer o desenho para facilitar a interpretação:
Com isso, temos que o perímetro do triângulo será:
k + k + j + j + i + i = 1 + 1 + 20 + 20 = 42cmPortanto, resposta letra "d".
Questão 9 - Nessa questão, temos o seguinte:
Raio do círculo B = RPortanto, a área do círculo A é 51% menor do que a área do círculo B. Resposta letra "a".
Questão 10 - Nessa questão, primeiro vamos montar as matrizes A e B, somá-las, e encontar a matriz Y:
Agora, retirando o a linha e a coluna do elemento y23 temos:
Com isso, calculamos o determinante:
Det(m) = 5 x 34 - 25 x 10 = 170 - 250 = -80Portanto, resposta letra "c"