Questão 1 - A proposição P4 é do tipo “se p ... então q ...”, uma condicional p → q. A negação de uma condicional p → q é equivalente a p ∧ ~q. Portanto, temos:

~q: O policial não tem informações precisas ao tomar decisões.

p → q: Se (o policial) teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões.

~(p → q) <=> (p ∧ ~q): O policial teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, mas não tem informações precisas ao tomar decisões.

Só devemos nos lembrar que o “mas” também representa uma conjunção.

Item correto.

Questão 2 - Nessa questão, podemos entender que P2 e P4 são as premissas e que “O policial que tenha tido treinamento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins” é a conclusão do argumento. Vamos verificar se esta conclusão é verdadeira, nos baseando nas premissas P2 e P4:

Batizando as proposições simples, temos:

Assim, o argumento fica:

Eliminando as colunas onde alguma premissa é falsa, temos:

Agora, percebam que considerando as premissas verdadeiras não podemos garantir que a proposição “O policial que tenha tido treinamento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins” seja verdadeira, pois existe uma possibilidade (a terceira linha da tabela) na qual as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa.

Item errado.

Questão 3 - Vejamos a proposição P3:

P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões.

Passando para a linguagem simbólica, temos:

P3: (p ∧ ~q) → r

Agora, vamos analisar a frase do enunciado:

“O policial que tenha tido treinamento adequado não se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, mesmo estando em situações de estresse”

Podemos reescrevê-la da seguinte forma:

“O policial que tenha tido treinamento adequado, mesmo estando em situações de estresse, não se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões”

Que é o mesmo que:

“Se o policial teve treinamento adequado e estava em situações de estresse, então ele não se deixou dominar pela emoção ao tomar decisões”

(q ∧ p) → ~r

Assim, devemos verificar se sempre que a proposição P3 for verdadeira a proposição (q ∧ p) → ~r também será.

Podemos analisar da seguinte forma: P3 é uma condicional e será verdadeira sempre que o antecedente for falso, ou, sempre que o consequente for verdadeiro. Assim, podemos perceber o seguinte:

- P3 será verdadeira sempre que “p” for falso (pois assim o antecedente será falso).

ou,

- P3 será verdadeira sempre que o “q” for verdadeiro (pois assim o antecedente será falso).

ou ainda,

- P3 será verdadeira sempre que o “r” for verdadeiro (pois assim o consequente será verdadeiro).

Agora, vamos analisar se a proposição (q ∧ p) → ~r também é verdadeira sempre que P3 é verdadeira.

“sempre que “p” for falso”

Realmente, sempre que o “p” for falso, a proposição (q ∧ p) → ~r também será verdadeira, pois assim o antecedente será falso.

“sempre que o “q” for verdadeiro”

Agora, podemos perceber que nem sempre que o “q” for verdadeiro a proposição (q ∧ p) → ~r será verdadeira, pois com “q” verdadeiro, “p” verdadeiro e “r” verdadeiro, a proposição (q ∧ p) → ~r será falsa.

Item errado.

Questão 4 - Agora, devemos analisar o seguinte argumento:

P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins.

P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins.

P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões.

P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões.

C: Se o policial está em situação de estresse e não toma decisões ruins, então teve treinamento adequado.

Passando as premissas e a conclusão para a linguagem simbólica, temos:

P1: p → q

P2: ~r → q

P3: (s ∧ ~t) → p

P4: (t ∧ u) → r

C: (s ∧ ~q) → t

Argumento:

{(p → q) ∧ (~r → q) ∧ [(s ∧ ~t) → p] ∧ [(t ∧ u) → r]} => [(s ∧ ~q) → t]

Agora, vou ensinar um macete para verificar se esse argumento é válido. O macete consiste em testar se o conjunto de premissas é verdadeiro quando a conclusão é falsa. Se o conjunto de premissas tiver alguma possibilidade de ser verdadeira quando a conclusão é falsa, concluímos que o argumento é inválido.

Para que a conclusão (s ∧ ~q) → t seja falsa, é necessário que “s” seja verdadeiro, “~q” seja verdadeira (ou seja, “q” tem que ser falso) e “t” seja falso.

Agora, podemos perceber que as premissas 1 e 3 apresentam uma contradição no “p”, pois ele tem que ser falso para que P1 seja verdadeira e tem que ser verdadeiro para que P3 seja verdadeira. Portanto, não há nenhuma possibilidade em que o conjunto de premissas é verdadeiro e a conclusão é falsa, ou seja, sempre que o conjunto de premissas for verdadeiro a conclusão também será verdadeira, o que torna o argumento válido.

Item correto.

Questão 5 - Nessa questão, vamos começar passando as proposições para a linguagem simbólica:

P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins.

P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins.

P5: Se se deixa dominar pela emoção ou não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins.

Agora, devemos verificar se (p → q) ∧ (~r → q) é equivalente a (p v ~r) → q. Poderíamos construir a tabela verdade das duas proposições e verificar se as proposições são equivalentes ou não. Porém, podemos verificar o seguinte:

Analisando a proposição (p → q) ∧ (~r → q)

- “(p → q) ∧ (~r → q)” será verdadeira sempre que o “q” for verdadeiro, pois dessa forma as condicionais “p → q” e “~r → q” serão verdadeiras, o que fará com que a conjunção “(p → q) ∧ (~r → q)” seja verdadeira.

- Quando o “q” for falso, basta que o “p” seja verdadeiro ou que o “~r” seja verdadeiro, para que a proposição “(p → q) ∧ (~r → q)” seja falsa, pois basta que uma das duas condicionais seja falsa para que a conjunção “(p → q) ∧ (~r → q)” seja falsa.

Analisando a proposição (p v ~r) → q

- “(p v ~r) → q” será verdadeira sempre que o “q” for verdadeiro, pois trata-se de uma condicional com o consequente verdadeiro.

- Quando o “q” for falso, basta que o “p” seja verdadeiro ou que o “~r” seja verdadeiro, para que a proposição “(p v ~r) → q” seja falsa, pois basta que uma das duas proposições seja verdadeira para que a disjunção (p v ~r) seja verdadeira e torne a condicional “(p v ~r) → q” falsa.

Portanto, as duas proposições são equivalentes.

Item correto.

Questão 6 - Foi dito que todas as quatro premissas apresentadas são verdadeiras:

P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins.

P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins.

P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões.

P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões.

Passando as premissas para a linguagem simbólica, temos:

Agora, foi dito nessa questão que se considerarmos “t” verdadeiro e “r” verdadeiro, a proposição “u” é necessariamente verdadeira. Podemos perceber que a proposição “u” só aparece na quarta premissa:

P4: (t ∧ u) → r

Assim, vamos considerar “t” verdadeiro e “r” verdadeiro:

(V ∧ u) → V

Agora, podemos perceber que independentemente do valor lógico da proposição “u”, a quarta premissa será verdadeira.

Portanto, não necessariamente a proposição “O policial se dedicou nos estudos” será verdadeira se considerarmos verdadeiras as proposições “O policial teve treinamento adequado” e “O policial tem informações precisas ao tomar decisões”.

Item errado.

Questão 7 - Vamos organizar o argumento:

Batizando as proposições, temos:

Argumento: [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (r → s)] => (p → s)

Lembrando que (A → B) ∧ (B → C) => (A → C), temos:

Item correto.

Questão 8 - Vamos começar passando as duas proposições para a linguagem simbólica:

p → q: Se houver corrupção, os níveis de violência crescerão.

~p → ~q: Se não houver corrupção, os níveis de violência não crescerão.

Portanto, devemos verificar se “~(p → q)” é equivalente a “~p → ~q”.

Sabemos que a negação de uma proposição do tipo “p → q” é “p ∧ ~q”. Assim, devemos verificar se “p ∧ ~q” é equivalente a “~p → ~q”. De forma direta, sabemos que uma conjunção qualquer possui três valores lógicos falsos e um valor lógico verdadeiro e que uma condicional qualquer possui um valor lógico falso e três valores lógicos verdadeiros. Portanto, as proposições “p ∧ ~q” e “~p → ~q” não podem ser equivalentes.

Item errado.

Questão 9 - O texto informa que a condição de extrema pobreza atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros. Assim, para a escolha do 1º jovem temos:

P(1º jovem) = (Casos Favoráveis)/(Casos Possíveis) = (4.148.000)/(34.000.000) = 12,2%

Para o segundo jovem, temos:

P(2º jovem) = (Casos Favoráveis)/(Casos Possíveis) = (4.147.999)/(33.999.999) = 12,1999974% = 12,2%

Como o espaço amostral é muito grande, retirando-se um jovem, a probabilidade de escolhermos o segundo jovem é praticamente a mesma da escolha do primeiro jovem. Assim, temos:

P(2 jovens) = P(1º jovem) x P(2º jovem) = 12,2% x 12,2% = 1,4884%

Item correto.

Questão 10 - Devemos saber que a negação de uma proposição do tipo “Todo ... é ...” é “Existe ... que não é ...”. Assim:

Item correto.

Questão 11 - Vamos batizar as proposições e passar tudo para a linguagem simbólica:

~p ∧ q: João não é pobre, mas pratica atos violentos.

Considerando p falsa e q verdadeira, temos:

Portanto, considerando a proposição “João é pobre” falsa e a proposição “João pratica atos violentos” verdadeira, a proposição “João não é pobre, mas pratica atos violentos” será verdadeira.

Item errado.

Questão 12 - Um contraexemplo para a afirmação “Todo indivíduo pobre pratica atos violentos” é um exemplo que negue esta afirmação, ou seja, é um exemplo que confirme que “Existe indivíduo pobre que não pratica atos violentos”. Assim, como Jorge não é pobre, ele não pode ser um contraexemplo.

Item errado.

Questão 13 - Primeiro, vamos representar a distribuição dos presos, sabendo que alguns estavam presos por roubo e homicídio:

Sabemos ainda que:

O presídio continha 420 detentos

A + B + C + D = 420 (equação 1)

140 foram condenados por outros crimes

D = 140 (equação 2)

210 foram condenados por roubo

A + B = 210 (equação 3)

140 foram condenados por homicídio

B + C = 140 (equação 4)

Substituindo os valores de D e de A + B das equações 2 e 3 na equação 1, temos:

Substituindo o valor de C na equação 4, temos:

Substituindo o valor de B na equação 3, temos:

Assim, temos:

Agora, para selecionar dois detentos entre os condenados por outros crimes, podemos entender que formaremos um grupo de 2 pessoas entre os 140 disponíveis, onde a ordem da escolha não importa. Com isso, utilizaremos a combinação dos 140 detentos, dois a dois:

Item correto.

Questão 14 - Vimos que foram 70 os detentos que estavam presos por terem sido condenados por roubo e homicídio.

Questão 15 - Utilizando o diagrama já construído anteriormente:

A interpretação do enunciado leva a resultados distintos. O que eu acredito que seja a intenção do Cespe é que os dois detentos devem ter sido condenados apenas por roubo, ou os dois detentos devem ter sido condenados apenas por homicídio. Aqueles detentos condenados por roubo e por homicídio não interessam nesse cálculo. Porém, acredito que cabe recurso, pois se escolhermos um detento condenado por roubo e homicídio e outro condenado por apenas por roubo, teremos escolhido dois detentos condenados por roubo.

Para os dois detentos condenados apenas por roubo:

P(1º apenas roubo) = (Casos Favoráveis)/(Casos Possíveis) = (140)/(420) = 2/6

P(2º apenas roubo) = (Casos Favoráveis)/(Casos Possíveis) = (140-1)/(420-1) = 139/419

Ptotal(apenas roubo) = P(1º) x P(2º) = (2/6) x (139/419) = (1/6) x (278/419)

Para os dois detentos condenados apenas por homicídio:

P(1º apenas homicídio) = (Casos Favoráveis)/(Casos Possíveis) = (70)/(420) = 1/6

P(2º apenas homicídio) = (Casos Favoráveis)/(Casos Possíveis) = (70-1)/(420-1) = 69/419

Ptotal(apenas homicídio) = P(1º) x P(2º) = (1/6) x (69/419)

Pfinal = Ptotal(apenas roubo) + Ptotal(apenas homicídio)

Pfinal = (1/6) x (278/419) + (1/6) x (69/419)

Pfinal = (1/6) x [(278/419) + (69/419)]

Pfinal = (1/6) x (347/419)

Como 347/419 é menor do que 1, podemos concluir que Pfinal é menor do que 1/6.

Item errado.