Na lógica sentencial, uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa, mas não como verdadeira e falsa simultaneamente. As proposições são representadas por letras maiúsculas A, B, C, D etc. Como operações lógicas sobre proposições, a proposição “A ou B” só será falsa se as duas proposições A e B forem falsas; a proposição “Se A, então B” só será falsa se a proposição A for verdadeira e a B for falsa. Uma sequência de proposições é denominada correta se a última proposição, como consequência das anteriores, for verdadeira, sempre que as anteriores o forem. Nesse caso, a última proposição é denominada conclusão e as anteriores, premissas.
Julgue os itens subsequentes, com relação às definições apresentadas no texto acima.
Questão 1 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) Considere a sequência formada pelas proposições seguintes.
A: Se Alice viajar ou Beatriz tornar-se modelo, então Pedro perderá documentos.Nesse caso, considerando A e B como premissas e C como conclusão, a sequência formada pelas proposições A, B e C é correta.
Questão 2 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) Considere as seguintes sentenças.
(i) Apresente ao diretor da escola, em tempo hábil, todos os documentos que ainda não foram assinados.É correto afirmar que, entre as sentenças apresentadas, apenas uma delas é proposição.
Questão 3 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) Considerando X = {9, 9/5, 7, 7/5, 5, 1} , é correto afirmar que a proposição “Se x pertence ao conjunto X, então 1/x ≤ x” é verdadeira.
Questão 4 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) Considere que as mesas em que Beatriz, Carla e Marcos trabalham têm as formas retangular, em L e redonda, e cores branca, azul e verde, não necessariamente nessas ordens. Sabe-se também que a mesa de Beatriz é azul; a de Marcos é redonda; a de Carla não é verde nem tem a forma de L. Nesse caso, é correto afirmar que a proposição “As formas das mesas azul, branca e verde são, respectivamente, em forma de L, redonda e retangular” é verdadeira.
Julgue os itens seguintes a respeito de permutações.
Questão 5 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) É inferior a 600 a quantidade de anagramas da palavra ESCOLAR que conservam juntas, mas não necessariamente na mesma ordem, as letras E, S e C.
Questão 6 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) Com 3 letras A e 7 letras B formam-se 120 sequências distintas de 10 letras cada.
Questão 7 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 é possível formar 120 números diferentes de 5 algarismos, sem repetição.
Com relação ao princípio de contagem, julgue os itens a seguir.
Questão 8 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) Considere que, na solenidade de posse de quatro secretários e de quatro secretárias, o cerimonial tenha reservado, em cada uma das 4 primeiras fileiras de cadeiras do auditório, 2 cadeiras para serem ocupadas por esses profissionais. Nesse caso, a quantidade de maneiras diferentes de esses profissionais ocuparem essas 8 cadeiras é inferior a 580.
Questão 9 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) Considere que a secretaria de uma escola disponha de 6 guichês de atendimento e que o chefe da secretaria pretenda deixar aberto pelo menos um desses guichês no horário de almoço. Nesse caso, são 64 os modos distintos de deixar pelo menos um dos 6 guichês abertos no período de almoço.
Questão 10 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) Considere que, para ir de sua mesa ao balcão de atendimentos, o secretário escolar disponha de 6 caminhos e, para ir do balcão até os arquivos, ele disponha de 4 caminhos. Assim, para sair de sua mesa e chegar aos arquivos, passando pelo balcão, o secretário poderá fazê-lo de menos de 25 maneiras diferentes
Questão 11 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) Suponha que os números das matrículas dos alunos de uma escola tenham 4 algarismos e, para nenhuma matrícula, o primeiro algarismo seja o zero. Nesse caso, a quantidade de matrículas distintas é inferior a 8.550.
Questão 12 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) Considere que, para imprimir alguns documentos, a secretária escolar tenha encontrado apenas 10 folhas de papel da cor azul, 16 da cor branca, 8 da cor rosa e 6 da cor verde, e que os papéis tenham sido colocados misturados na gaveta da impressora. Nesse caso, para se garantir que 3 cópias de um documento de apenas uma página sejam impressas em folhas da mesma cor, deverão ser impressas 9 páginas.
Na última reunião dos trabalhadores de uma escola, realizada em torno de uma mesa retangular com 6 cadeiras de cada lado e 1 cadeira em cada cabeceira, compareceram o presidente do sindicato da categoria e mais 11 outros trabalhadores, entre os quais 3 secretários escolares. Da pauta da reunião constava a designação de uma comissão de 5 pessoas para representar os interesses da categoria nas instâncias superiores. Os 12 participantes da reunião almoçaram no mesmo restaurante onde ocuparam uma mesa redonda com 12 lugares, para que pudessem ficar juntos.
Julgue os itens seguintes, relativos às informações apresentadas no texto.
Questão 13 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) Com o presidente do sindicato ocupando uma das cabeceiras da mesa de reuniões, são 156 maneiras diferentes de os outros participantes ficarem sentados à mesa.
Questão 14 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) Se a comissão citada precisasse contar com pelo menos um secretário, então essa comissão poderia ser formada de mais de 650 maneiras diferentes.
Questão 15 - (SEPLAG DF 2009 - CARGO 02 / CESPE) No restaurante, se cada participante dirigir cumprimentos a cada um dos outros colegas, então a quantidade de cumprimentos pode ser calculada como uma combinação de 12 elementos, tomados 2 a 2.
Questão 1 - Nessa questão, temos:
p: Alice viajarPara que a sequência formada pelas premissas A e B e pela conclusão C seja verdadeira, é necessário que as duas premissas sejam verdadeiras e que a conclusão seja uma consequência dessas premissas. Assim, temos que (p v q) → r é verdadeiro e que p é verdadeiro. Assim:
(V v q) → rCom isso, r deverá ser verdadeiro para que V → r seja verdadeiro. Portanto, a sequência A, B e C é verdadeira. Item correto
Questão 2 - Aqui temos que uma proposição é uma sentença, algo que será declarado por meio de palavras ou de símbolos e cujo conteúdo poderá ser considerado verdadeiro ou falso. Assim, a única sentença que pode ser declarada como falsa ou verdadeira é a segunda sentença. As outras são ordens, as quais não podemos atribuir um valor lógico.
Portanto, item correto.
Questão 3 - A proposição “Se x pertence ao conjunto X, então 1/x ≤ x” é do tipo p → q, que só será falsa se p for verdadeiro e q for falso. Assim, se x não pertencer ao conjunto X, portanto p sendo falso, a sentença será verdadeira. Vamos analisar a situação no caso de x pertencer ao conjunto X (p ser verdadeiro):
Situação em que x ∈ X:
1/x ≤ xPara x = 9:
1/9 ≤ 9, proposição vardadeira.Para x = 9/5:
5/9 ≤ 9/5, proposição vardadeira.Para x = 7:
1/7 ≤ 7, proposição vardadeira.Para x = 7/5:
5/7 ≤ 7/5, proposição vardadeira.Para x = 5:
1/5 ≤ 5, proposição vardadeira.Para x = 1:
1 ≤ 1, proposição vardadeira.Portanto, sempre que p for verdadeiro q também será verdadeiro. Assim, item correto.
Questão 4 - Vamos preencher a seguinte tabelinha para resolvermos essa questão:
a mesa de Beatriz é azul
a mesa de Marcos é redonda
a mesa de Carla não é verde nem tem a forma de L
Com isso, podemos dizer que “As formas das mesas azul, branca e verde são, respectivamente, em forma de L, redonda e retangular” é falsa, pois a mesa branca é retangular e a mesa verde é redonda. Item incorreto.
Questão 5 - Nessa questão, temos:
ESCOLARJá que a questão pede que as letras E, S e C fiquem juntas, consideramos essas três letras como sendo um único elemento e calculamos a permutação. Em seguida, calculamos a permutação desses três elementos, já que não é necessário que estejam na mesma ordem, e multiplicamos os resultado. Vejamos:
P(5) = 5! = 5.4.3.2.1 = 120Portanto, item incorreto.
Questão 6 - Aqui, o que se pede é a quantidade de anagramas com as letras AAABBBBBBB, ou seja, uma permutação de 10 com repetição de 7 e de 3:
P = 10!/7!.3! = 10.9.8.7!/7!.3! = 10.9.8/3.2.1 = 120Portanto, item correto.
Questão 7 - Nessa questão, temos a permutação de 5 sem repetição:
P = 5! = 5.4.3.2.1 = 120Portanto, item correto.
Questão 8 - Aqui, teremos a permutação de 8 sem repetição.
P = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320Portanto, item incorreto.
Questão 9 - Aqui, temos:
1 guichê aberto: C(6,1) = 6!/1!(6-1)! = 6.5!/5! = 6 possibilidades
2 guichês abertos: C(6,2) = 6!/2!.(6-2)! = 6.5.4!/2!.4! = 6.5/2 = 15 possibilidades
3 guichês abertos: C(6,3) = 6!/3!.(6-3)! = 6.5.4.3!/3!.3! = 6.5.4/3.2 = 20 possibilidades
4 guichês abertos: C(6,4) = 6!/4!.(6-4)! = 6.5.4!/4!.2! = 6.5/2 = 15 possibilidades
5 guichês abertos: C(6,5) = 6!/5!.(6-5)! = 6.5!/5!.1! = 6 possibilidades
6 guichês abertos: C(6,6) = 6!/6!.(6-6)! = 6!/6!.0! = 1 possibilidade
Total = 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63 possibilidades. Item incorreto
Questão 10 - Vamos lá:
Da mesa ao balcão de atendimentos = 6 caminhosPortanto, item correto.
Questão 11 - Aqui, temos:
Primeiro algarismo: 9 possibilidadesTotal = 9 x 10 x 10 x 10 = 9000 matrículas distintas. Item incorreto.
Questão 12 - Nessa questão, temos o seguinte:
A pior situação é ele imprimir duas páginas do trabalho em folhas de cada uma das quatro cores (total de 8 impressões). Nesse ponto, a próxima página que for impressa formará um grupo de 3 páginas da mesma cor. Assim com no máximo 9 impressões, teremos 3 páginas impressas em folhas da mesma cor. Item correto.
Questão 13 - Aqui, temos:
Duas cebeceiras: A(2,1) = 2!/1! = 2Total = 2 . 78 . 39916800 = 6227020800
Item incorreto.
Questão 14 - Aqui, temos:
Pelo menos um secretário: C(3,1) = 3!/1!.(3-1)! = 3.2!/2! = 3Total = 3 . 330 = 990
Portanto, item correto.
Questão 15 - O CESPE considerou no gabarito preliminar este item como incorreto, o que não é verdade. A forma correta de se calcular o total de cumprimentos é dado pela combinação dos doze elemenos dois a dois, já que, por exemplo, João cumprimentar Pedro é o mesmo que Pedro cumprimentar João:
C(12,2) = 12!/2!.(12-2)!Portanto, item correto.